Para responder diretamente à sua pergunta, basta adicionar o seguinte conteúdo a um arquivo chamado /etc/init/docker-chmod.conf para obter suas permissões definidas durante a inicialização.
start on startuptaskexec chmod 666 /var/run/docker.sock
Mas você deve considerar adicionar seu, ou um usuário do sistema, ao docker- grupo unix para evitar soluções alternativas como esta, o que pode ser uma grande ameaça potencial à segurança.
O resultado do seu chmod praticamente dá a todos os usuários locais permissões de leitura e gravação no Docker-socket, o que permite que qualquer pessoa interfira nas imagens do docker.